ニュートン力学でも、重いものほど速く落ちる、ということについて

$F=ma$
$F=mg$
$F=m\frac{d^2r}{dt^2}$
$mg=m\frac{d^2r}{dt^2}$

$F=\frac{GMm}{r^2}$ （万有引力の法則 G:万有引力定数 M:地球の質量 m:物体の質量 r:地球と物体の間の距離）
$m\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{GMm}{r^2}$

ｒ（地球と物体の間の距離）は減少していくが、その原因には物体の運動によるものと地球の運動によるものがある。万有引力をmで割って、という計算で表される加速度は物体の運動に関係するが、地球の加速度は別の計算（万有引力をMで割る）が必要なのである。そしてこの二つの和がrの２階微分となる。つまり、物体の加速度は同じでも地球の加速度は違うということ

$m\frac{d^2R}{dt^2}=\frac{GMm}{r^2}$ 物体の方の式
$M\frac{d^2R}{dt^2}=\frac{GMm}{r^2}$ 地球の方の式

$m\frac{d^2R}{dt^2}=\frac{GMm}{r^2}$ → $\frac{d^2R}{dt^2}=\frac{GM}{r^2}$
$M\frac{d^2R}{dt^2}=\frac{GMm}{r^2}$ → $\frac{d^2R}{dt^2}=\frac{Gm}{r^2}$
$\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{GM}{r^2}+\frac{Gm}{r^2}=\frac{G(M+m)}{r^2}$
$\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{G(M+m)}{r^2}$ こうなる？
落下の加速度は、mに関係している。

では、「重いほうが強い引力を受けるが、重いものは＜動かしにくいから＞、重いものも軽いものも落下速度は同じである」、という、よくある説明は、正しくない説明なのか？　この説明が正しいとしたら、（結果的に）重いほうが速く落下するという上の数式はどのように説明されるのか？

慣性質量

あらゆる物体はその運動状態を保とうとする。（慣性の法則）
慣性質量は慣性の尺度である。慣性質量が大きい物体ほど、その運動を変化させにくい（加速しにくい）。

一定の力で物体を運動させるとき（例えば、一定の長さだけ引き伸ばしたバネで物体を動かすことを考えよう）、質量の大きい物体ほどゆっくりとしか動き出さない。この時の運動の加速度 a と物体の質量 m は反比例する。

${m}\propto{a^{-1}}$

慣性質量は物体に固有の量であり、環境や測定方法には依存しない。慣性質量は物体の運動と結び付けて考えるのが自然だ。実際、我々は動きの様子から、重いとか軽いと判断する感覚も持っている。

http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/matsuura/lecture/general/materials/mass.htm

慣性質量m_iは、ニュートンの運動方程式で定義される量で、物体に働く力 F と加速度 a の比として次の様に表される。

$m_i=\frac{F}{a}$

これは実際に実験を行い、物体をある力で引っ張ったときの加速度を調べ、比例係数を計算することで求められる。慣性質量は物体の動きにくさ（あるいは止まりにくさ）を表す値であるといえる。外力に抗して静止しようとする能力の指標として観察するときの抵抗質量に比例する。

「質量 - Wikipedia」

重力質量

重力質量m_gは、地球との間に生じるものについて言えば、物質物体に働く地球の重力F_g、地球の重力質量M_e、地球と物質の重心間の距離r、重力定数 G を用いて次の様に表される。

$m_g={{F_g r^2} \over {GM_e}}$

これは体重計などで計ることができる、我々の直感的にイメージする「重さ」を生じさせる質量である。
両者（慣性質量と重力質量）は全く別の定義であるが、これらは同一の値を取る。このことをエートヴェシュ・ロラーンドらは実験によって確かめた。これを等価原理という。

「質量 - Wikipedia」